Question

1．已知函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x^2}+1}$），且對于任意的x∈（1，2]，f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f（$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$）＞0恒成立，則m的取值范圍是m＜0．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，不等式可整理為m＜（x²-1）（6-x）恒成立，利用構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x²-1）（6-x），通過求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最小值．

解答 解：$f（x）=lg（x+\sqrt{{x^2}+1}）$的定義域?yàn)镽，且f（-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)，顯然在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴函數(shù)在R上也為遞增函數(shù)，
∵f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f（$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$）＞0，即f（$\frac{x+1}{x-1}$）＞-f（$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$），
∴f（$\frac{x+1}{x-1}$）＞f（-$\frac{m}{{{{（x-1）}^2}（6-x）}}$），
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞-$\frac{m}{（x-1）^{2}（6-x）}$，
∴m＞（x²-1）（x-6）恒成立，
設(shè)h（x）=（x²-1）（x-6），h'（x）=3x²-12x-1=3（x-2）²-13，
∴h'（x）＜0，函數(shù)遞減，函數(shù)的最大值為h（1）=0，
∴m＞0．
故答案為m＞0．

點(diǎn)評 考查了奇函數(shù)的判斷和恒成立問題的轉(zhuǎn)化．