Question

11．過拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點(diǎn)F作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C，若x_C是x_B與x_F的等比中項(xiàng)，則雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 求出直線的方程和雙曲線的漸近線方程，通過解方程組得出x_C，x_B，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程化簡得出a，b的關(guān)系．代入離心率公式計(jì)算．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)為F（a，0），
∴直線方程為y=-x+a．
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1的漸近線為y=±$\frac{a}x$，
∴直線y=-x+a與漸近線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，$\frac{{a}^{2}}{a+b}$．
∵x_C是x_B與x_F的等比中項(xiàng)，
∴（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$）²=a•$\frac{{a}^{2}}{a-b}$或（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$）²=a$•\frac{{a}^{2}}{a+b}$，
∴3ab+b²=0（舍）或3ab-b²=0，∴b=3a．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}a$，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與雙曲線的性質(zhì)，直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，等比中項(xiàng)，屬于中檔題．