Question

16．若m+2n=1（m＞0，n＞0），則$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 把m+2n=1代入$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{n}$化簡(jiǎn)后，利用基本不等式求出式子的最小值．

解答 解：∵m+2n=1（m＞0，n＞0），
∴$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{n}$=（m+2n）（$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}+\frac{m}{n}+\frac{n}{m}+2$
=$\frac{5}{2}+\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{m}{n}=\frac{n}{m}$，即m=n時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式以及“1”的代換的應(yīng)用，注意驗(yàn)證三個(gè)條件：一正、二定、三相等，屬于基礎(chǔ)題．