Question

9．盒子有質(zhì)地均勻的8個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)白球．
（1）從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)小球，求取出的2個(gè)球顏色不同的概率；
（2）從盒中一次隨機(jī)取出3個(gè)小球，其中取出黑球和白球的個(gè)數(shù)分別為m和n，記ξ=|m-n|，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取出兩個(gè)球是同一顏色的種數(shù)為：${C}_{3}^{2}{+C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}$，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出取出兩個(gè)球顏色不同的概率．
（Ⅱ）由已知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）∵盒子有質(zhì)地均勻的8個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，3個(gè)黑球和2個(gè)白球，
∴取出兩個(gè)球是同一顏色的種數(shù)為：${C}_{3}^{2}{+C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}$，
∴取出兩個(gè)球顏色不同的概率p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}{+C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）∵取出3個(gè)球中有m個(gè)黑球和n個(gè)白球，另t個(gè)紅球，

	黑球	白球	紅球
ξ=0	0	0	3
	1	1	1
ξ=1	0	1	2
	1	0	2
	1	2	0
	0	2	1
ξ=2	2	0	1
	2	1	0
ξ=3	3	0	0

∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{19}{56}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{24}{56}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{0}{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{0}{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{12}{56}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{19}{56}$	$\frac{24}{56}$	$\frac{12}{56}$	$\frac{1}{56}$

Eξ=$1×\frac{24}{56}$+2×$\frac{12}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{51}{56}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．