Question

11．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）．
（1）若|a|≤1，試證：|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{17}{8}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x（|x|≤1）．此時(shí)：|f（x）|的最大值為1，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）的圖象在x=$-\frac{1}{2a}$時(shí)，取最值$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$，分析|f（-1）|，|f（1）|，|f（$-\frac{1}{2a}$）|的值，可得結(jié)論；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x（|x|≤1）．此時(shí)：|f（x）|的最大值為1，不滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，分類討論f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）的最值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 證明：（1）|a|≤1，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x（|x|≤1）．
此時(shí)：|f（x）|≤$\frac{5}{4}$顯然成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）的圖象在x=$-\frac{1}{2a}$時(shí)，取最值$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$，
∵|f（-1）|=|f（1）|=1≤$\frac{5}{4}$，
若|a|≥$\frac{1}{2}$時(shí)，|$-\frac{1}{2a}$|≤1，
此時(shí)|f（$-\frac{1}{2a}$）|=|$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$|=|a|+|$\frac{1}{4a}$|，當(dāng)|a|=1時(shí)，|a|+|$\frac{1}{4a}$|取最大值$\frac{5}{4}$，
綜上若|a|≤1，|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x（|x|≤1）．
此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為1，不滿足條件；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1時(shí)，取最大值1，不滿足條件；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1時(shí)，取最大值1，不滿足條件；
當(dāng)a$≤-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=$-\frac{a}{2}$時(shí)，取最大值$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$=$\frac{17}{8}$，
解得：a=$-\frac{1}{8}$（舍去），或a=-2，
綜上a=-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．