Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．兩邊除以n（n+1）化為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=1，即可證明；
（2）由（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 （1）證明：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+n-1=n，
∴${a}_{n}={n}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．