Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象上在y軸右邊的第一個最高點A的坐標(biāo)為（$\frac{π}{12}$，3），和A點相鄰的一個對稱中心B點的坐標(biāo)為（$\frac{π}{3}$，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的單增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）直接由題意求出A，及T，得到ω，代入點的坐標(biāo)求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的增區(qū)間，與[0，π]取交集得答案．

解答 解：（1）由題意可知，A=3，$\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
∴f（x）=3sin（2x+φ），
由$f（\frac{π}{12}）=3sin（2×\frac{π}{12}+φ）=3$，得$sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$，
取k=0，得$-\frac{5π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$；
取k=1，得$\frac{7π}{12}≤x≤\frac{4π}{3}$．
∴f（x）在[0，π]上的單增區(qū)間為$[0，\frac{π}{3}]，[\frac{7π}{12}，π]$．

點評 本題考查了由f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，是中檔題．