Question

9．己知函數(shù)f（x）=lnx+x²-3x+2．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意n∈N*，都有l(wèi)n（1+n）＞$\sum_{i=1}^{n}\frac{1-1}{{i}^{2}}$成立．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0，解得的區(qū)間就是單調(diào)增區(qū)間；
（2）由（1）知，函數(shù)g（x）=lnx+x²-3x+在[1，+∞）單調(diào)遞增，可得lnx+x²-3+x≥g（1）=0，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），令x=1+$\frac{1}{n}$，則ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{{n}^{2}}$．利用“累加求和”及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

解答 解：（1）解：f（x）=x²-3x+2+lnx，定義域?yàn)椋?，+∞）．
f'（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$＞0
解得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞），減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1）
（2）證明：由（1）知當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx+x²-3x+2在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴l(xiāng)nx+x²-3x+2≥g（1）=0，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
令x=1+$\frac{1}{n}$，則ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{{n}^{2}}$．
∴l(xiāng)n（1+1）+ln（1+$\frac{1}{2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}+\frac{2-1}{{2}^{2}}+\frac{3-1}{{3}^{2}}+…+\frac{n-1}{{n}^{2}}$
ln2+ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln（n+1）-lnn＞$\frac{1-1}{{1}^{2}}+\frac{2-1}{{2}^{2}}+\frac{3-1}{{3}^{2}}+…+\frac{n-1}{{n}^{2}}$
ln（1+n）＞$\sum_{i=1}^{n}\frac{1-1}{{i}^{2}}$（證畢）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分類討論、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、善于利用已經(jīng)證明的結(jié)論、“累加求和”及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于中檔題．