Question

14．已知O是△ABC的外心，∠C=45°，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），則m+n的取值范圍是（　�。�

• A． [$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． [$-\sqrt{2}$，1）
• C． [$-\sqrt{2}$，-1）
• D． （1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用已知條件，得∠AOB=90°，兩邊平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），⇒m²+n²=1，結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)圓的半徑為1，則由題意m、n不能同時為正，∴m+n＜1…①
∵∠C=45°，O是△ABC的外心，∴∠AOB=90°．
兩邊平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），
即可得出1=m²+n²+2mncos∠AOB⇒m²+n²=1…②，
又∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}≥（\frac{m+n}{2}）^{2}$…③
由①②③得-$\sqrt{2}$≤m＜1．
故選：B．

點評 本題考查向量知識的運用，基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．