【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,△ABD是邊長為2的正三角形,PC⊥底面ABCD,AB⊥BP,BC=

(1)求證:PA⊥BD;
(2)若PC=BC,求二面角A﹣BP﹣D的正弦值.

【答案】
(1)證明:連接AC,交BD于O,

由PC⊥平面ABCD,可得PC⊥AB,

又AB⊥BP,BP∩PC=P,

可得AB⊥平面PBC,即有AB⊥BC,

由BC= ,AB=2,可得tan∠BAC= = ,

即∠BAC=30°,又∠ABD=60°,

則∠AOB=90°,

即AC⊥BD,又PC⊥BD,

則BD⊥平面PAC,即有PA⊥BD


(2)解:由O為BD的中點,過O作OF∥PC,交AP于F,

可得F為AP的中點,且OF⊥平面ABCD,

以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA,OB,OF為x,y,z軸,建立直角坐標(biāo)系O﹣xyz,

則A( ,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),C(﹣ ,0,0),P(﹣ ,0, ),

=(0,2,0), =( ,1,﹣ ),

設(shè)平面PBD的一個法向量為 =(x,y,z),

,取z=1,x=2,

可得為 =(2,0,1),

取PB的中點E,連接CE,由PC=BC,可得CE⊥AP,

又AB⊥平面PBC,可得AB⊥CE,即有CE⊥平面ABP,

由E(﹣ , ),即有 =( , )為平面ABP的一個法向量.

即有cos< , >= = = ,

可得sin< , >= =

即有二面角A﹣BP﹣D的正弦值為


【解析】(1)連接AC,交BD于O,運用線面垂直的判定和性質(zhì),可得AB⊥BC,求得∠BAC=30°,可得AC⊥BD,再由線面垂直的判定和性質(zhì),即可得證;(2)過O作OF∥PC,交AP于F,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA,OB,OF為x,y,z軸,建立直角坐標(biāo)系O﹣xyz,分別求得A,B,C,D,P的坐標(biāo),可得向量 , 的坐標(biāo),設(shè)出平面PBD的一個法向量為 =(x,y,z),由向量垂直的條件:數(shù)量積為0,可得 =(2,0,1),再取PB的中點E,連接CE,可得向量CE為平面ABP的法向量,求得坐標(biāo),再求兩法向量的夾角的余弦值,即可得到所求二面角的正弦值.
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列四個命題中真命題的個數(shù)是(
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件
②命題“x∈R,sinx≤1”的否定是“x∈R,sinx>1”
③“若am2<bm2 , 則a<b”的逆命題為真命題
④命題p;x∈[1,+∞),lgx≥0,命題q:x∈R,x2+x+1<0,則p∨q為真命題.
A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上, 的中心和的頂點均為原點,且橢圓經(jīng)過點, ,拋物線過點.

Ⅰ)求、的標(biāo)準(zhǔn)方程;

Ⅱ)請問是否存在直線滿足條件:

①過的焦點;②與交不同兩點且滿足.

若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測試,現(xiàn)從中隨機抽取40名學(xué)生的測試成績,整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段進行分組,假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,則得到體育成績的折線圖(如下):

(Ⅰ)體育成績大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級有1000名學(xué)生,試估計高一全年級中“體育良好”的學(xué)生人數(shù);

(Ⅱ)為分析學(xué)生平時的體育活動情況,現(xiàn)從體育成績在的樣本學(xué)生中隨機抽取2人,求在抽取的2名學(xué)生中,至少有1人體育成績在的概率;

(Ⅲ)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為且分別在三組中,其中當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最小時,寫出的值.(結(jié)論不要求證明)

(注: ,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))

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【題目】已知公比小于1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1= 且13a2=3S3(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=nan , 求數(shù)列{bn}的前項n和Tn

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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù), 為常數(shù).

(1)確定的值;

(2)求證: 上的增函數(shù);

(3)若對于區(qū)間上的每一個值,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖, 為坐標(biāo)原點,橢圓 的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線 的左右焦點分別為,離心率為,已知,.

(1)的方程;

(2)點作的不垂直于軸的弦, 的中點,當(dāng)直線交于兩點時,求四邊形面積的最小值.

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(2)若MN是過橢圓C的右焦點F的動弦(非長軸),點T為橢圓C的左頂點,記直線TM,TN的斜率分別為k1 , k2 . 問k1k2是否為定值?若為定值,請求出定值;若不為定值,請說明理由.

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(2)是否存在圓心在原點的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓E 恒有兩個交點A、B,且 ?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由.

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