Question

【題目】如圖, 為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且.

(1)求的方程;

(2)過點(diǎn)作的不垂直于軸的弦, 為的中點(diǎn),當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:(1)利用橢圓和雙曲線之間的關(guān)系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點(diǎn),由題目和即可得到之間的兩個(gè)方程,聯(lián)立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)利用(1)求出焦點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出弦的直線的方程,聯(lián)立直線與橢圓消得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的和與積,進(jìn)而得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)帶入AB直線即可得到的橫坐標(biāo),進(jìn)而求出直線的方程,即為直線的方程,聯(lián)立直線的方程得到的取值范圍和求出點(diǎn)的坐標(biāo)得到的長度,利用點(diǎn)到直線的距離得到到直線的距離表達(dá)式,進(jìn)而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質(zhì)和的取值范圍即可得到面積的最小值.

(1)由題可得,且,因?yàn)?/span>,且,所以且 且,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.

(2)由(1)可得,因?yàn)橹本�不垂直于軸,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,,則,因?yàn)?/span>在直線上,所以,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得 ,則,則,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則到直線的距離也為,則,因?yàn)?/span>在直線的兩端,所以,

則 ,又因?yàn)?/span>在直線上,所以 ,

則四邊形面積,因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),四邊形面積的最小值為.