【題目】設(shè)橢圓E： 過(guò) ， 兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E 恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且 ？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】
（1）解：因?yàn)闄E圓E： （a，b＞0）過(guò)M（2， ），N（ ，1）兩點(diǎn)，

所以 ，解得 ，

所以 ，

所以橢圓E的方程為


（2）解：假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且 ，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m．

解方程組 得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

則△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，

即8k2﹣m2+4＞0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

．

要使 ，需使x1x2+y1y2=0，即 ，

所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以 ．

又8k2﹣m2+4＞0，所以 ，

所以 ，即 或 ，

因?yàn)橹本�y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為 ，

所以 ，所以 ，

所以所求的圓為 ，此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足 或 ，

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為 與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn)為 或 ，滿足 ，

綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓 ，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且


【解析】（1）利用待定系數(shù)法，可求橢圓E的方程；（2）分類討論，設(shè)出切線方程與橢圓方程聯(lián)立，要使 ，需使x1x2+y1y2=0，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）若AB=AD，求 的值．

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