Question

15．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2．
（1）證明：AC⊥B₁D；
（2）求三棱錐C-BDB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥平面BB₁D，即可證明AC⊥B₁D；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐C-BDB₁的體積．

解答 證明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BB₁⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
∵AC⊥BD，BB₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BB₁D，
∵B₁D?平面BB₁D，
∴AC⊥B₁D，
（2）解：∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁是三棱錐B₁-BDC的高，
∴${V}_{C-BD{B}_{1}}$=${V}_{{B}_{1}-BDC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐體積的計算，利用等體積轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．