Question

6．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在線段AB與BC上，且滿足：BE=BF=$\frac{1}{2}$BC，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點P，并連結(jié)PB．
（Ⅰ）求證：面PDF⊥面PEF；
（Ⅱ）求四棱錐P-BFDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折疊前四邊形ABCD為正方形，可得折疊后PD⊥PE，PD⊥PF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得PD⊥平面PEF，進而由面面垂直的判定定理，得到答案．
（Ⅱ）當BE=BF=$\frac{1}{4}$BC時，計算出△EFD，△EFB的面積，點P到平面BEDF的距離，進而求四棱錐P-BEDF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：折起前AD⊥AE，CD⊥CF，

折起后，PD⊥PE，PD⊥PF．（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，（4分）
∵PD?平面PDF，∴面PDF⊥面PEF；（6分）
（Ⅱ）解：當BE=BF=$\frac{1}{2}$BC時，由（1）可得PD⊥平面PEF．（7分）
此時，$EF=\sqrt{2}$，S_△BEF=$\frac{1}{2}$，S_△ADE=S_△CDF=$\frac{1}{2}×1×2$=1．（8分）
△PEF的高為h₁=$\sqrt{P{F}^{2}-（\frac{EF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（9分）
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}EF•{h}_{1}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$（10分）
∴V_D-PEF=$\frac{1}{3}{S}_{△PEF}•DP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2$=$\frac{1}{3}$（11分）
∵S_△DEF=S_ABCD-S_△BEF-S_△ADE-S_△CDF=4-$\frac{1}{2}$-1-1=$\frac{3}{2}$（12分）
設(shè)點P到平面BEDF的距離為h，則V_P-DEF=$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•h$=$\frac{1}{2}$h
∵V_D-PEF=V_P-DEF，∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$h，
解得h=$\frac{2}{3}$（13分）
∴四棱錐P-BEDF的體積V_P-BEDF=$\frac{1}{3}$（S_△DEF+S_△BEF）h=$\frac{1}{3}×（\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$．（14分）

點評 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，點，線，面的距離計算，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是等積法的熟練應用．