Question

5．已知函數f（x）=x³-3x²+ax（a∈R）
（1）求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a≥2時，求函數y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，討論判別式小于或等于0，和大于0，令導數大于0，得增區(qū)間；令導數小于0，得減區(qū)間；
（2）由（1）討論當a≥3時，當2≤a＜3時，求得函數的單調區(qū)間，通過函數值的符號，去絕對值符號，即可得到最大值．

解答 解：（1）函數f（x）=x³-3x²+ax的導數為f′（x）=3x²-6x+a，
判別式△=36-12a，
當△≤0時，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）為增函數；
當a＜3時，即△＞0，3x²-6x+a=0有兩個實根，x₁=1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，
f′（x）＞0，可得x＞x₂或x＜x₁；f′（x）＜0，可得x₁＜x＜x₂．
綜上可得，a≥3時，f（x）的增區(qū)間為R；
a＜3時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$），（1+$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，+∞），
減區(qū)間為（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）．
（2）由于y=|f（x）|的圖象經過原點，
當a≥3時，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在[0，1]遞增，
即有x=1處取得最大值，且為a-2；
當2≤a＜3時，由（1）可得f（x）在[0，1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）遞增，
在（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$，1]遞減，
則f（x）在x=1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$處取得最大值，且大于0，
又f（0）=0，f（1）=a-2≥0，
則y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即為f（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）．
綜上可得，當a≥3時，函數y的最大值為a-2；
當2≤a＜3時，函數y的最大值為f（1-$\frac{\sqrt{9-3a}}{3}$）．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，主要考查分類討論的思想方法和函數的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．