Question

【題目】已知常數(shù)且，在數(shù)列中，首項(xiàng)，是其前項(xiàng)和，且，.

（1）設(shè)，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（3）若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列取到最小值，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；

（2）證明見解析，；（3）.

【解析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得，再利用等比數(shù)列的定義證明為常數(shù)，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，并確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出；

（2）由題意得出，再利用等差數(shù)列的定義證明出數(shù)列為等差數(shù)列，確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由數(shù)列在時(shí)取最小值，可得出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再利用參變量分離法可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，有，即，；

當(dāng)時(shí)，由，可得，將上述兩式相減得，

，，

且，

所以，數(shù)列是以，以為公比的等比數(shù)列，；

（2）由（1）知，

，由等差數(shù)列的定義得，

且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，

因此，；

（3）由（2）知，，，

由數(shù)列在時(shí)取最小值，可得出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

由，得，

得在時(shí)恒成立，

由于數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞減，則，此時(shí)，；

由，得，

得在時(shí)恒成立，

由于數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞減，則，此時(shí)，.

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.