Question

1．已知函數f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}+b$（a，b∈R）
（1）當a=4，b=-2時，求函數f（x）在x=1處的切線方程
（2）在（1）的前提下，若函數f（x）的圖象恒不在曲線y=$\frac{k}{x+1}$（x≥1）的下方，求k的取值范圍
（3）若f（x）在定義域上是單調函數，且零點為1，求a（b+1）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數，確定切線的斜率，切點的坐標，即可求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）題意，lnx+$\frac{4}{x+1}$-2-$\frac{k}{x+1}$≥0（x≥1）恒成立，可得k≤（x+1）lnx+2-2x（x≥1），求出右邊的最大值，即可求k的取值范圍
（3）f（x）定義域為（0，+∞），f（1）=a+b+1=0，所以b+1=-a，利用f（x）在定義域上是單調函數，所以f'（x） 在x＞0時，要么恒≥0，要么恒≤0，可得a≤0，即可求a（b+1）的取值范圍．

解答 解：（1）當a=4，b=-2時，f（x）=lnx+$\frac{4}{x+1}$-2，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
∴f′（1）=0，f（1）=0，
∴當a=4，b=-2時，函數f（x）在x=1處的切線方程y=0；
（2）由題意，lnx+$\frac{4}{x+1}$-2-$\frac{k}{x+1}$≥0（x≥1）恒成立，
∴k≤（x+1）lnx+2-2x（x≥1）．
令g（x）=（x+1）lnx+2-2x，g′（x）=lnx+$\frac{1-x}{x}$＜0，函數單調遞減，
∴x=1時，g（x）_max=0，
∴k≤0；
（3）f（x）定義域為（0，+∞），f（1）=a+b+1=0，所以b+1=-a，
而f'（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$．
由于f（x）在定義域上單調，所以f'（x） 在x＞0時，要么恒≥0，要么恒≤0，
即 x-a≥0 或者 x-a≤0，
也即 x≥a 或者 x≤a 當x＞0時，兩者之一恒成立，
而顯然當x＞0時，x≤a不可能恒成立，
所以只能a≤0，
從而a（b+1）=-a²≤0．

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．