Question

1．已知動圓M恒過F（1，0）且與直線x=-1相切，動圓圓心M的軌跡記為C；直線x=-1與x軸的交點為N，過點N且斜率為k的直線l與軌跡C有兩個不同的公共點A，B，O為坐標原點．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程，并求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）點D是軌跡C上異于A，B的任意一點，直線DA，DB分別與過F（1，0）且垂直于x軸的直線交于P，Q，證明：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$為定值，并求出該定值；
（3）對于（2）給出一般結(jié)論：若點$F（{\frac{p}{2}，0}）$，直線$x=-\frac{p}{2}$，其它條件不變，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值（可以直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）由動圓M恒過F（1，0）且與直線x=-1相切得，點M到F（1，0）與到直線x=-1距離相等，結(jié)合拋物線定義可得圓心M的軌跡C的方程；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得直線l的斜率k的取值范圍；
（2）設(shè)D（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），寫出DA、DB的方程，求出與x=1的交點P、Q的坐標，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及D在拋物線上求得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值；
（3）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=k（x+\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$ 得，k²x²+（pk²-2p）x$+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$．然后與（2）同法求解$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值．

解答 （1）解：由動圓M恒過F（1，0）且與直線x=-1相切得，點M到F（1，0）與到直線x=-1距離相等，
∴圓心M的軌跡C的方程為：y²=4x；
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（{x+1}）\end{array}\right.$得，k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-（{2{k^2}-4}）\\{x_1}{x_2}=1\end{array}\right.$，
當k=0時，一次方程只有一個根，不成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}k≠0\\△＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}＞0}\end{array}\right.$，解得k∈（-1，0）∪（0，1）．
∴直線l的斜率k的取值范圍為k∈（-1，0）∪（0，1）；
（2）證明：設(shè)D（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l_DA：$y-{y_0}=\frac{4}{{{y_0}+{y_1}}}（{x-{x_0}}）$，即l_DA：（y₀+y₁）y=4x+y₀y₁
其與x=1的交點$P（{1，\frac{{{y_0}{y_1}+4}}{{{y_0}+{y_1}}}}）$，
同理l_DB與x=1的交點$Q（{1，\frac{{{y_0}{y_2}+4}}{{{y_0}+{y_2}}}}）$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=1+$$（{\frac{{{y_0}{y_1}+4}}{{{y_0}+{y_1}}}}）•（{\frac{{{y_0}{y_2}+4}}{{{y_0}+{y_2}}}}）=1+$$\frac{{y_0^2{y_1}{y_2}+4{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+16}}{{y_0^2+{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+{y_1}{y_2}}}$．
由（1）中的x₁x₂=1得，${y_1}{y_2}=\sqrt{16{x_1}{x_2}}=4$，代入上式得$\frac{{4y_0^2+4{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+16}}{{y_0^2+{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+4}}=4$．
故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=1+4=5；
（3）解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=k（x+\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$ 得，k²x²+（pk²-2p）x$+\frac{{{k^2}{p^2}}}{4}=0$．
∴${x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}$，得${y_1}{y_2}=\sqrt{4{p^2}{x_1}{x_2}}$=p²，
直線l_DA：$y-{y_0}=\frac{2p}{{{y_0}+{y_1}}}（{x-{x_0}}）$，即l_DA：（y₀+y₁）y=2px+y₀y₁，
得$P（{\frac{p}{2}，\frac{{{y_0}{y_1}+{p^2}}}{{{y_0}+{y_1}}}}）$，$Q（{\frac{p}{2}，\frac{{{y_0}{y_2}+{p^2}}}{{{y_0}+{y_2}}}}）$．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=\frac{p^2}{4}+$$\frac{{y_0^2{y_1}{y_2}+{p^2}{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+{p^2}}}{{y_0^2+{y_0}（{{y_1}+{y_2}}）+{y_1}{y_2}}}$=$\frac{p^2}{4}+{p^2}=\frac{{5{p^2}}}{4}$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=\frac{{5{p^2}}}{4}$．

點評 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的，訓(xùn)練了向量法在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，考查計算能力，屬中檔題．