Question

19．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，則AD與平面ACC₁A₁所成的角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． -$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• D． -$\frac{{\sqrt{10}}}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)B作BF⊥AC，過(guò)B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過(guò)D作DG⊥EF，連接AG，證明DG⊥面AA₁C₁C，∠DAG=α，解直角三角形ADG即可．

解答 解：如圖所示，過(guò)B作BF⊥AC，過(guò)B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過(guò)D作DG⊥EF，連接AG，
在正三棱柱中，有B1E⊥AA₁C₁C，BF⊥面AA₁C₁C，
故DG⊥面AA₁C₁C，
∴∠DAG=α，可求得DG=BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
AG=$\sqrt{A{F}^{2}+F{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AD=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}$=$\sqrt{2}$
故sinα=$\frac{\sqrt{6}}{4}$  
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查直線和平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬基礎(chǔ)題．