Question

4．正四面體ABCD的棱長為a，EFG分別是AB，AC，CD的中點，截面EFG交棱BD于H則點A到截面EFGH的距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把A到截面的距離轉化為AD的中點到截面的距離，進一步轉化為求AD，BC的中點間的距離得答案．

解答 解：如圖，
∵ABCD是正四面體，且E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，CD的中點，
可得四邊形EFGH為正方形，取AD中點M，BC中點N，連接MN，
則有MN⊥平面EFGH，且M，N到平面EFGH的距離相等，
BM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，則MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
∴M到平面EFGH的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
∵AD∥平面EFGH，∴A到平面EFGH的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，考查了空間直線和平面的位置關系，是基礎的計算題．