Question

3．已知雙曲線C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$有共同的漸近線，則雙曲線C的離心率為$\frac{\sqrt{7}}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$，若此雙曲線C還過點(diǎn)M（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），則雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 直接求解雙曲線的離心率，然后求解雙曲線方程．

解答 解：雙曲線C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$有共同的漸近線，可得：$\frac{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}}$或$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}}$，
即：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，可得e²-1=$\frac{3}{4}$，可得：e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
$\frac{{a}^{2}}{^{2}}=\frac{6}{8}$，可得：e²-1=$\frac{4}{3}$，e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
此雙曲線C設(shè)為：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{6}=m$還過點(diǎn)M（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
可得：$\frac{8}{8}-\frac{3}{6}=m$，即m=$\frac{1}{2}$，
所求雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$；$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．