Question

3．已知函數f（x）=2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos2x-3．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若在△ABC中，AB=2|f（$\frac{π}{4}$）|，AC=$\sqrt{3}$BC，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角與兩角和的余弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過正弦函數的單調減區(qū)間，直接求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設BC=a，則AC=$\sqrt{3}$a，利用余弦定理求出cosB，求出cos²B和sin²B，再利用三角形的面積公式化簡S²_△ABC，利用配方法和二次函數的性質求出面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos2x-3
=2×$\frac{1-cos（2x-\frac{π}{2}）}{2}$+$\sqrt{3}$cos2x-3=-sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-2
=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-2
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
得$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11}{12}$π+kπ（k∈Z）．
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11}{12}$π+kπ]（k∈Z）．  
（Ⅱ）AB=2|f（$\frac{π}{4}$）|=2|-1-2|=6，設BC=a，則AC=$\sqrt{3}$a，
根據余弦定理得，cosB=$\frac{36+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×6×a}$=$\frac{3}{a}$-$\frac{1}{6}$a，
則sin²B=1-cos²B=2-$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{36}{a}^{2}$，
根據面積公式得，S_△ABC=$\frac{1}{2}•6•a•$sinB=3asinB，
所以S²_△ABC=9a²sin²B=-$\frac{1}{4}$（a²-36）²+243，
當a²=36，即a=6時，S²_△ABC取到最大值243，即△ABC面積的最大值是9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數，函數的單調性函數值的求法，考查計算能力，轉化思想．