Question

3．已知函數(shù)f（x）=2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos2x-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若在△ABC中，AB=2|f（$\frac{π}{4}$）|，AC=$\sqrt{3}$BC，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角與兩角和的余弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，直接求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)BC=a，則AC=$\sqrt{3}$a，利用余弦定理求出cosB，求出cos²B和sin²B，再利用三角形的面積公式化簡S²_△ABC，利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos2x-3
=2×$\frac{1-cos（2x-\frac{π}{2}）}{2}$+$\sqrt{3}$cos2x-3=-sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-2
=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-2
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
得$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11}{12}$π+kπ（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11}{12}$π+kπ]（k∈Z）．  
（Ⅱ）AB=2|f（$\frac{π}{4}$）|=2|-1-2|=6，設(shè)BC=a，則AC=$\sqrt{3}$a，
根據(jù)余弦定理得，cosB=$\frac{36+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×6×a}$=$\frac{3}{a}$-$\frac{1}{6}$a，
則sin²B=1-cos²B=2-$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{36}{a}^{2}$，
根據(jù)面積公式得，S_△ABC=$\frac{1}{2}•6•a•$sinB=3asinB，
所以S²_△ABC=9a²sin²B=-$\frac{1}{4}$（a²-36）²+243，
當(dāng)a²=36，即a=6時(shí)，S²_△ABC取到最大值243，即△ABC面積的最大值是9$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．