Question

12．已知F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，若以點B（0，b）為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切于點P，且$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{PF}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$+1
• B． $\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求出a，c的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：由題意$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{PF}$，可得：
BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，
由F（c，0），B（0，b），k_BF=-$\frac{c}$
可得-$\frac{c}$•$\frac{a}$=-1，
即b²-ac=0，
即c²-a²-ac=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得：
e²-e-1=0，
又e＞1，
可得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選：D

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計算能力，確定BF垂直于雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x是解題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算能力．