Question

15．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，則數(shù)列{a_n}的前4n項之和為2n（n+1）．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，對n分類討論可得：a_2k+2+a_2k=1，a_2k+1-a_2k-1=1，k∈N^*．利用分組求和、等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，
∴n=2k為偶數(shù)時，a_2k+2+a_2k=1；n=2k-1為奇數(shù)時，a_2k+1-a_2k-1=1，k∈N^*．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等差數(shù)列，公差為1，首項為1．
∴數(shù)列{a_n}的前100項之和=（a₁+a₃+…+a_4n-3+a_4n-1）+[（a₂+a₄）+…+（a_4n-2+a_4n）]
=$2n+\frac{2n（2n-1）}{2}$×1+n
=2n（n+1）．
故答案為：2n（n+1）．

點評 本題考查了分組求和、等差數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．