【題目】已知函數(shù)且在處的切線與直線垂直.

(1)求實(shí)數(shù)值;

(2)若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè),且數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證: .

【答案】（1）;（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，根據(jù)題意可得，解得;（2）先求最值，再根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為, ,最后分別按二次不等式和絕對(duì)值不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）由(2)可得當(dāng)時(shí), ，從而,再利用裂項(xiàng)相消法得= ，即得結(jié)論

試題解析：(1,x>0,

因?yàn)?/span>,且在處的切線與直線垂直,

所以,則;

(2)由(1)可知

所以,易知當(dāng)時(shí), ,

所以在,

因此當(dāng)時(shí), .

由不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及恒成立可得,

,即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,

所以解得;

且=,

即,即或,綜上可得的取值范圍是;

(3)由(2)可知在定義域上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí), ,即.

而,又,

故,

所以== 而,所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于下列四個(gè)命題:

p1:x0∈(0,+∞),;

p2:x0∈(0,1),lox0>lox0;

p3:x∈(0,+∞),<lox;

p4:x∈<lox.

其中的真命題是(　　)

A. p1,p3 B. p1,p4

C. p2,p3 D. p2,p4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量中不超過(guò)立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）如果為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米， 至少定為多少？

（2）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4Sn=an2+2an﹣3．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）已知bn=2n，求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是 （α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè) ，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下面四個(gè)推理中，屬于演繹推理的是（　�。�

A. 觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72015的末兩位數(shù)字為43

B. 觀察，可得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)

C. 在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似的，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1：2，則它們的體積之比為1：8

D. 已知堿金屬都能與水發(fā)生還原反應(yīng)，鈉為堿金屬，所以鈉能與水發(fā)生反應(yīng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為(單位：m2)(　　)

A. (11＋4)π B. (12＋4)π C. (13＋4)π D. (14＋4)π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某城市的市民收入逐年增長(zhǎng)，表1是該城市某銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款額(年底余額)：

表1

年份x

2011

2012

2013

2014

2015

儲(chǔ)蓄存款額y(千億元)

5

6

7

8

10

為了研究計(jì)算的方便，工作人員將表1的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2 010，z＝y－5，得到表2：

表2

時(shí)間代號(hào)t

1

2

3

4

5

z

0

1

2

3

5

(1)z關(guān)于t的線性回歸方程是________；y關(guān)于x的線性回歸方程是________；

(2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2020年年底，該銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)________千億元．

(附：線性回歸方程＝x＋，其中＝，＝－)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）己知函數(shù)f（x）=

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（2）求證：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）>2

（3）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）>k對(duì)x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．

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