Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q≠1，S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，T_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的乘積，T_n（k）表示{a_n}的前n項(xiàng)中除去第k項(xiàng)后剩余的n-1項(xiàng)的乘積，即T_n（k）=

Tn

ak

（n，k∈N^*，k≤n），則當(dāng)a₁=1，q=2，數(shù)列{

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

}的前n項(xiàng)的和是

2ⁿ-1

．

Answer 1

分析：令b_n=

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

，依題意，可求得b_n=2^n-1，利用等比數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列{

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

}的前n項(xiàng)的和．

解答：解：令b_n=

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

，
則b_n=

SnTn

Tn a1 + Tn a2 +…+ Tn an

=

Sn

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

，
∵等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，首項(xiàng)a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1；
又?jǐn)?shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

2(2n-1)

2n

，
∴b_n=

Sn

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

=2^n-1．
∵

bn+1

bn

=

2n

2n-1

=2，b₁=1，
∴{b_n}是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（即b_n=a_n），
∴b₁+b₂+…+b_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
故答案為：2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，求得b_n=2^n-1是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析與化簡、運(yùn)算的能力，屬于中檔題．