Question

9．已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+3=0，曲線D的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，曲線D的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）若點P為直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}t\\ y=4+\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）上的動點，點Q為曲線D上的動點，求P，Q兩點間距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρcosθ-ρsinθ+3=0，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；因為曲線D的參數(shù)方程消去參數(shù)α，能求出曲線D的普通方程．
（2）將直線方程化為普通方程x-y+3=0，求出圓D的圓心D（2，1）到直線：x-y+3=0的距離d，得到PQ的最小值為$d-\sqrt{2}=\sqrt{2}$．

解答 解：（1）因為曲線C的極坐標(biāo)方程ρcosθ-ρsinθ+3=0，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x-y+3=0．…（3分）
因為曲線D的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)）．
所以曲線D的普通方程為（x-2）²+（y-1）²=2…（6分）
（2）將直線方程化為普通方程 x-y+3=0，…（9分）
圓D：（x-2）²+（y-1）²=2的圓心D（2，1）到直線：x-y+3=0的距離：
$d=\frac{{|{2-1+3}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$，…（12分）
所以PQ的最小值為$d-\sqrt{2}=\sqrt{2}$． …（14分）

點評 本題考查直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查圓的普通方程的求法，考查兩點間距離的最小值的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．