Question

14．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件 $\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10≤0}\\{x-2y+8≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值為12，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{11}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 利用線性規(guī)劃的知識求出則Z_max在點(diǎn)D處取得最大值，由此得出a、b的關(guān)系式，
再利用基本不等式求$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值．

解答 解：約束條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10≤0}\\{x-2y+8≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示；

由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10=0}\\{x-2y+8=0}\end{array}\right.$，解得D（4，6），
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，
則Z_max在點(diǎn)D處取得最大值；
即4a+6b=12，
所以2a+3b=6，
所以$（\frac{2}{a}+\frac{3}）=\frac{{（\frac{2}{a}+\frac{3}）（2a+3b）}}{6}=\frac{{4+9+\frac{6a}+\frac{6b}{a}}}{6}≥\frac{{13+2\sqrt{6×6}}}{6}=\frac{25}{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{6}{5}$時取“=”．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了二元一次不等式組表示平面區(qū)域以及基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．