Question

11．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），平面內(nèi)任意一點(diǎn)P滿足：直線PA的斜率k₁，直線PB的斜率k₂，k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，點(diǎn)P的軌跡為曲線C₁．雙曲線C₂以曲線C₁的上下兩頂點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)，Q是雙曲線C₂上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線QM的斜率k₃，直線QN的斜率k₄．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）如果k₁k₂+k₃k₄≥0，求雙曲線C₂的焦距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到曲線C₁的方程；
（2）設(shè)雙曲線方程為$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，Q（x₀，y₀）在雙曲線上，再由直線的斜率公式，結(jié)合條件，得到b的范圍，即可得到雙曲線C₂的焦距的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），
則${k_1}{k_2}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$，
∴曲線C₁的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{x≠±2}）$；
（2）設(shè)雙曲線方程為$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，
Q（x₀，y₀）在雙曲線上，所以$\frac{{{y_0}^2}}{3}-\frac{{{x_0}^2}}{b^2}=1（{b＞0}）$，
∵${k_3}{k_4}=\frac{{{y_0}+\sqrt{3}}}{x_0}•\frac{{{y_0}-\sqrt{3}}}{x_0}=\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2}}=\frac{3}{b^2}$，
∴$-\frac{3}{4}+\frac{3}{b^2}≥0$，∴0＜b≤2，
由雙曲線C₂的焦距為2$\sqrt{3+^{2}}$，
故雙曲線C₂的焦距的取值范圍∈（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，主要考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線的斜率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．