Question

4．已知圓x²+y²+x-6y+3=0與直線x+2y-3=0的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求：
（1）弦AB的長度；
（2）求以AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求弦AB的長度；
（2）運(yùn)用“圓系方程”，求出圓心坐標(biāo)，由圓心在直線x+2y-3=0上，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）圓x²+y²+x-6y+3=0的圓心坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，3），半徑為$\frac{5}{2}$，
圓心到直線的距離為$\frac{|-\frac{1}{2}+6-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴弦AB的長度為2$\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{5}{4}}$=2$\sqrt{5}$；
設(shè)所求圓的方程為x²+y²+x-6y+3+λ（x+2y-3）=0，整理，得：x²+y²+（1+λ）x+（2λ-6）y+3-3λ=0，
此圓的圓心坐標(biāo)是：（-$\frac{1+λ}{2}$，3-λ），
由圓心在直線x+2y-3=0上，得-$\frac{1+λ}{2}$+2（3-λ）-3=0   
解得λ=1．
故所求圓的方程為：x²+y²+2x-4y=0．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用了“圓系方程”，簡化了過程．