Question

1．f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$對(duì)一切x≠0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 分x²≥a和x²＜a去絕對(duì)值，由不等式f（x）≥1恒成立，令t=x²（t＞0）換元后轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題，然后運(yùn)用三個(gè)二次的結(jié)合化為關(guān)于a的不等式組求解a的取值范圍．

解答 解：若x²≥a，則f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$=${x}^{2}-a+\frac{a}{{x}^{2}}$，
由不等式f（x）≥1恒成立，得${x}^{2}-a+\frac{a}{{x}^{2}}≥1$恒成立，
即x⁴-（a+1）x²+a≥0恒成立．
令t=x²（t＞0），
則t²-（a+1）t+a≥0（t＞0）恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}≥0}\\{（a+1）^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}＜0}\\{a≥0}\end{array}\right.$②，
解①得：a=1，解②得a∈∅．
又a≤x²=t，∴a≤0．
故a∈∅；
若x²＜a，則f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$a-{x}^{2}+\frac{a}{{x}^{2}}$，
由不等式f（x）≥1恒成立，得$a-{x}^{2}+\frac{a}{{x}^{2}}$≥1恒成立，
即x⁴-（a-1）x²+a≤0恒成立．
令t=x²（t＞0），
則t²-（a-1）t+a≤0（t＞0）恒成立．
此時(shí)顯然不成立．
綜上，使f（x）=|x²-a|+$\frac{a}{{x}^{2}}$，對(duì)一切x≠0，不等式f（x）≥1恒成立的實(shí)數(shù)不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次結(jié)合”求解二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，是中高檔題．