Question

3．某校一次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，高二（1）班要從甲、乙等6名水平相當(dāng)?shù)耐瑢W(xué)中隨機(jī)選出4人參加4×100米接力比賽．
（1）求甲和乙中至少有一人被選中的概率；
（2）現(xiàn)將選中的4人按照抽簽結(jié)果決定接力棒次1，2，3，4．若甲乙同時(shí)被選中，求甲乙兩人棒次之差的絕對(duì)值X的分布及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）求出從甲、乙等6名同學(xué)中隨機(jī)選出4人，不同的基本事件數(shù)以及甲和乙都不參加的基本事件數(shù)，利用對(duì)立事件的概率即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，X的可能取值為1、2、3，求出對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X的分布，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）從甲、乙等6名同學(xué)中隨機(jī)選出4人，不同的基本事件數(shù)為${C}_{6}^{4}$=15；
甲和乙都不參加的基本事件為${C}_{4}^{4}$=1，
所以甲乙二人中至少有一人被選中的概率為P=1-$\frac{1}{15}$=$\frac{14}{15}$；
（2）設(shè)甲為a，乙為b，另兩個(gè)同學(xué)為c、d；則所有的排列數(shù)為
abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb，
bacd，badc，bcad，bcda，bdac，bdca，
cabd，cadb，cbad，cbda，cdab，cdba，
dabc，dacb，dbac，dbca，dcab，dcba共24種；
根據(jù)題意，X的可能取值為1、2、3，
且P（X=1）=$\frac{12}{24}$=$\frac{1}{2}$，P（X=2）=$\frac{8}{24}$=$\frac{1}{3}$，P（X=3）=$\frac{4}{24}$=$\frac{1}{6}$；
所以X的分布為：

X	1	2	3
P（X）	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

X的數(shù)學(xué)期望為EX=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，也考查了古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．