Question

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）設(shè)，其中，判斷方程在區(qū)間 上的解的個(gè)數(shù)（其中為無(wú)理數(shù)，約等于且有）.

 

Answer 1

（1）時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，；（2）方程在區(qū)間上存在唯一解.

【解析】

試題分析：（1）先求出并進(jìn)行因式分解得到，然后分、、三類(lèi)進(jìn)行討論函數(shù)在的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最小值；（2）設(shè)，進(jìn)而通過(guò)求導(dǎo)，由確定函數(shù)在的單調(diào)性，進(jìn)而判斷兩端點(diǎn)函數(shù)值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，最終確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程在上的解的個(gè)數(shù).

試題解析：（1）由，得或

①當(dāng)時(shí)，，所以故在上是增函數(shù)，所以

②當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，

所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故

③當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，故．

綜上所述：時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

（2）令　　

由，解得;或

由，　知

故當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)

又；

由已知得：，所以，所以

故函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上存在唯一解.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；2.方程的解與函數(shù)的零點(diǎn).