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    5.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn).
    (Ⅰ)證明:BC1∥平面A1CD;
    (Ⅱ)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=2$\sqrt{2}$,求四棱錐C-A1ABE的體積.

    分析 (Ⅰ)連接AC1 交A1C于點(diǎn)F,則DF為三角形ABC1的中位線,故DF∥BC1.再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC1∥平面A1CD;
    (Ⅱ)由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形,由D為AB的中點(diǎn)可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用$\frac{1}{3}×\frac{(A{A}_{1}+BE)×AB}{2}×CD$運(yùn)算求得結(jié)果.

    解答 (Ⅰ)證明:連接AC1 交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1的中點(diǎn).
    ∵直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn),故DF為三角形ABC1的中位線,故DF∥BC1
    由于DF?平面A1CD,而BC1不在平面A1CD中,故有BC1∥平面A1CD.
    (Ⅱ)解:∵AA1=AC=CB=2,AB=2$\sqrt{2}$,
    ∴此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形.
    由D為AB的中點(diǎn)可得CD⊥平面ABB1A1 ,∴CD=$\sqrt{2}$.
    ∴四棱錐C-A1ABE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{(A{A}_{1}+BE)×AB}{2}×CD$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2

    點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用,求三棱錐的體積,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

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    A.2004B.2009C.4011D.4013

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