Question

15．在平面直角坐標系xOy中，已知任意角θ以x軸非負半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0），定義sicosθ=$\frac{{{x_0}+{y_0}}}{r}$，稱“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”．對于正余弦函數(shù)y=sicosx，有同學(xué)得到如下結(jié)論：
①該函數(shù)的圖象與直線y=$\frac{3}{2}$有公共點；
②該函數(shù)的一個對稱中心是$（\frac{3π}{4}，0）$；
③該函數(shù)是偶函數(shù)；
④該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是$[2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}]，k∈Z$．
以上結(jié)論中，所有正確的序號是（　　）

• A． ①②③④
• B． ③④
• C． ①②
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出函數(shù)y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對題目中的命題進行分析判定即可．

解答 解：對于①，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=$\frac{{x}_{0}{+y}_{0}}{r}$=$\frac{rsinx+rcosx}{r}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
因為-1≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，
所以-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
即該函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，其圖象與直線y=$\frac{3}{2}$無公共點，①錯誤；
對于②，因為y=sicosθ=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=0，
所以該函數(shù)的圖象關(guān)于點（$\frac{3π}{4}$，0）對稱，②正確；
對于③，函數(shù)y=sicosθ=f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象不關(guān)于y軸對稱，不是偶函數(shù)，③錯誤；
對于④，因為y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
所以由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
可得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z
即該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，④正確．
綜上可得，正確的命題有2個，是②④．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)y=sicosθ的表達式，是綜合性題目．