Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{1+x}$-lnx在x=x0處取得極大值，下列各式正確的是②④．（填序號(hào)）
①f（x₀）＜x₀；②f（x₀）=x₀；③f（x₀）＞x₀；④x₀＜$\frac{1}{2}$；⑤x₀$＞\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，判斷④⑤；利用g（x）=lnx+x+1的零點(diǎn)看成y=lnx與y=1+x的交點(diǎn)，可判斷①②③．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=-$\frac{x+1+lnx}{（1+x）^{2}}$，
∵f′（$\frac{1}{2}$）＜0，x→0，f′（x）→+∞，
∴x₀＜$\frac{1}{2}$，即④正確，⑤錯(cuò)誤
令g（x）=x+1+lnx，
∵g（x）=lnx+x+1的零點(diǎn)看成y=lnx與y=1+x的交點(diǎn)，
∴-x₀-1=lnx₀，
∴f（x₀）=x₀，故②正確，①③均錯(cuò)誤．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．