Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項b_n；
（Ⅲ）若c_n=$\frac{{a}_{n}_{n}}{n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系即可求出數(shù)列通項公式．
（2）利用累加法即可求出數(shù)列的通項公式，
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=2ⁿ，∴S_n-1=2^n-1，（n≥2）．          
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，（n≥2）．       
當n=1時，2^1-1=1≠S₁=a₁=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$                
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…b_n-b_n-1=2n-3，以上各式相加得
b_n-b₁=1+3+5+…+2n-3=（n-1）²．
∵b₁=1，
∴b_n=n²-2n．                   
（Ⅲ）由題意得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n=1}\\{（n-2）×{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
則T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1，
2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ，
∴-T_n=2+2²+…+2^n-1-（n-2）•2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-2）•2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ，
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．

點評 本題考查了遞推關系、'累加法“，“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．