Question

11．已知函數(shù)f（x）=asinx-x+b（a、b均為大于零的常數(shù)）．設(shè)函學(xué)f（x）在x=$\frac{π}{3}$處有極值，對(duì)于一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）在x=$\frac{π}{3}$處有極值，可得f′（$\frac{π}{3}$）=0，求出a的值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b＞x+cosx-sinx對(duì)一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]，恒成立，利用常數(shù)分離法，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=asinx-x+b，
∴f'（x）=acosx-1，
由題意得f'（$\frac{π}{3}$）=0，即acos$\frac{π}{3}$-1=0，a=2，
問(wèn)題等價(jià)于b＞x+cosx-sinx對(duì)一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
記g（x）=x+cosx-sinx，g′（x）=1-sinx-cosx=1-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]，上是減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，
故b的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值與極值，考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，三角恒等變換，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．