Question

11．已知函數f（x）=asinx-x+b（a、b均為大于零的常數）．設函學f（x）在x=$\frac{π}{3}$處有極值，對于一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 f（x）進行求導，利用函數f（x）在x=$\frac{π}{3}$處有極值，可得f′（$\frac{π}{3}$）=0，求出a的值，將問題轉化為b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]，恒成立，利用常數分離法，根據函數的導數及正弦函數圖象及性質求得函數的單調性及最值，即可求得實數b的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=asinx-x+b，
∴f'（x）=acosx-1，
由題意得f'（$\frac{π}{3}$）=0，即acos$\frac{π}{3}$-1=0，a=2，
問題等價于b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
記g（x）=x+cosx-sinx，g′（x）=1-sinx-cosx=1-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
∴g'（x）≤0，即g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]，上是減函數，
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，
故b的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性及函數最值與極值，考查函數的恒成立問題，三角恒等變換，正弦函數圖象及性質，考查轉化思想，屬于中檔題．