Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1．
（1）解不等式f（x）＞0．
（2）若f（x）在x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出判別式，討論等于0，大于0，小于0，即可得到所求解集；
（2）討論當x=0時，顯然成立；當0＜x≤1時，可得-a≤x+$\frac{4}{x}$，運用單調(diào)性，求出右邊的最小值；當-3≤x＜0時，可得-a≥x+$\frac{4}{x}$，運用基本不等式可得右邊函數(shù)的最大值，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）x²+ax+1＞0，
△=a²-4，
當△=0，即a=±2時，可得x≠±1；
當△＜0，即-2＜a＜2時，可得x∈R；
當△＞0，即a＞2或a＜-2時，可得x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$．
綜上可得，當a=±2時，解集為{x|x≠±1，x∈R}；
-2＜a＜2時，解集為R；
a＞2或a＜-2時，解集為{x|x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$}；
（2）x∈[-3，1）上恒有f（x）≥-3成立，
即為x²+ax+4≥0，當x=0時，顯然成立；
當0＜x≤1時，可得-a≤x+$\frac{4}{x}$，
由x+$\frac{4}{x}$的導數(shù)1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0，即有（0，1]為遞減區(qū)間，
可得x=1時，取得最小值5，可得-a≤5，
即有a≥-5；
當-3≤x＜0時，可得-a≥x+$\frac{4}{x}$，
由x+$\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4，
可得x=-2∈[-3，0）時，取得最大值-4，可得-a≥-4，
即有a≤4．
綜上可得a的范圍是[-5，4]．

點評 本題考查不等式的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．