Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x+6x，g（x）=$\frac{a}{x-3}$+6．
（Ⅰ）若x＞3時(shí)f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a＜（x-3）（e^x+6x-6），設(shè)h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得a的范圍；
（Ⅱ）求得F（x）=e^x+6x-（$\frac{a}{x-3}$+6），由F（x）=0，可得a=（x-3）（e^x+6x-6），由h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和最值，討論a的范圍，即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）若x＞3時(shí)f（x）＞g（x）恒成立，
即為e^x+6x＞$\frac{a}{x-3}$+6，即有a＜（x-3）（e^x+6x-6），
設(shè)h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），
h′（x）=e^x+6x-6+（x-3）（e^x+6）
=（x-2）（e^x+12），
當(dāng)x＞3時(shí)，可得h′（x）＞0，h（x）遞增，
即有h（x）＞h（3）=0，
由恒成立思想可得a≤0；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=e^x+6x-（$\frac{a}{x-3}$+6），
由F（x）=0，可得a=（x-3）（e^x+6x-6），
由h（x）=（x-3）（e^x+6x-6），
h′（x）=e^x+6x-6+（x-3）（e^x+6）
=（x-2）（e^x+12），
當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；
當(dāng)x＜2時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得x=2處取得極小值，也為最小值-（e²+6），
即有當(dāng)a=-（e²+6），函數(shù)y=a和y=h（x）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)a＞-（e²+6），函數(shù)y=a和y=h（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)a＜-（e²+6），函數(shù)y=a和y=h（x）的圖象沒有交點(diǎn)，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性求得最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的問題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．