Question

設(shè)p，q是實(shí)數(shù)，證明：方程x²+p|x|=qx-1有4個(gè)實(shí)根的充要條件是p+|q|+2＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別討論對(duì)稱軸和判別式△，即可得到結(jié)論．

解答： 解：若方程x²+p|x|=qx-1有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則等價(jià)為方程有兩個(gè)不同的正根和兩個(gè)不同的負(fù)根，
若x＞0 時(shí)，方程等價(jià)為x²+px-qx+1=0，即x²+（p-q）x+1=0，
若滿足

△=(p-q)2-4＞0 - p-q 2 ＞0

，即

p-q＞2或p-q＜-2 p-q＜0

，即p-q＜-2，
則p-q+2＜0，
若x＜0 時(shí)，方程等價(jià)為x²-px-qx+1=0，即x²-（p+q）x+1=0，
若滿足

△=(p+q)2-4＞0 - -(p+q) 2 ＜0

，即

p+q＞2或p+q＜-2 p+q＜0

，即p+q＜-2，
則p+q+2＜0，
綜上p+|q|+2＜0．
故方程x²+p|x|=qx-1有4個(gè)實(shí)根的充要條件是p+|q|+2＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用一元二次方程的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．