【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個零點,求的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,分類討論,即可求得f(x)單調(diào)性;
(2)對a分類討論,結(jié)合(1)中的單調(diào)性,研究函數(shù)的圖象的變化趨勢從而得到的取值范圍.
(1),
(ⅰ)若,
當(dāng)時,,為減函數(shù);
當(dāng)時,,為增函數(shù);
當(dāng)時,令,則,;
(ⅱ)若,,恒成立,
在上為增函數(shù);
(ⅲ)若,,
當(dāng)時,,為增函數(shù);
當(dāng)時,,為減函數(shù);
當(dāng)時,,為增函數(shù);
(ⅳ)若,,
當(dāng)時,,為增函數(shù);
當(dāng)時,,為減函數(shù);
當(dāng),,為增函數(shù);
綜上所述:當(dāng),在上為減函數(shù),
在上為增函數(shù);
當(dāng)時,在上為增函數(shù);
當(dāng)時,在上為增函數(shù),
在上為減函數(shù),
在上為增函數(shù);
當(dāng)時,在上為增函數(shù),
在上為減函數(shù),
在上為增函數(shù).
(2)(。┊(dāng)時,,令,,
此時1個零點,不合題意;
(ⅱ)當(dāng)時,由(1)可知,
在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
因為有兩個零點,必有,即,
注意到 ,
所以,當(dāng)時,有1個零點;
當(dāng)時,
取,則,
所以,當(dāng)時,有1個零點;
所以,當(dāng)時,有2個零點,符合題意;
(ⅲ)當(dāng)時,在上為增函數(shù),
不可能有兩個零點,不合題意;
(ⅳ)當(dāng)時,在上為增函數(shù),
在上為減函數(shù),
在上為增函數(shù);
因為,所以,
此時,最多有1個零點,不合題意;
(ⅴ)當(dāng)時,在上為增函數(shù),
在上為減函數(shù),
在上為增函數(shù);
因為,
此時,最多有1個零點,不合題意;
綜上所述,若有兩個零點,則的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細心程度的關(guān)系,在本校隨機調(diào)查了100名學(xué)生進行研究.研究結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績及格的50名學(xué)生中有40人比較細心,另外10人比較粗心;在數(shù)學(xué)成績不及格的50名學(xué)生中有20人比較細心,另外30人比較粗心.
(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表:
數(shù)學(xué)成績及格 | 數(shù)學(xué)成績不及格 | 合計 | |
比較細心 | 40 | ||
比較粗心 | |||
合計 | 50 | 100 |
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細心程度有關(guān)系?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線交于兩點.
(1)求直線l的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知底面ABCD是邊長為1的正方形,側(cè)面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,PA與平面PBC所成角的正弦值為。
(1)求側(cè)棱PA的長;
(2)設(shè)E為AB中點,若PA≥AB,求二面角B-PC-E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長途車站P與地鐵站O的距離為千米,從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1,l2,經(jīng)測量,l1,l2的夾角為45°,OP與l1的夾角滿足tan=(其中0<θ<),現(xiàn)要經(jīng)過P修條直路分別與道路l1,l2交匯于A,B兩點,并在A,B處設(shè)立公共自行車停放點.
(1)已知修建道路PA,PB的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米,若兩段道路的總造價相等,求此時點A,B之間的距離;
(2)考慮環(huán)境因素,需要對OA,OB段道路進行翻修,OA,OB段的翻修單價分別為n元/千米和n元/千米,要使兩段道路的翻修總價最少,試確定A,B點的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個六邊形點陣,它的中心是1個點(第1層),第2層每邊有2個點, 第3層每邊有3個點,…,依此類推,若一個六邊形點陣共有217個點,那么它的層數(shù)為( )
A.10B.9C.8D.7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有且僅有三個零點,并且這三個零點構(gòu)成等差數(shù)列,則實數(shù)a的值為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線x=﹣2上有一動點Q,過點Q作直線l,垂直于y軸,動點P在l1上,且滿足(O為坐標(biāo)原點),記點P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)已知定點M(,0),N(,0),點A為曲線C上一點,直線AM交曲線C于另一點B,且點A在線段MB上,直線AN交曲線C于另一點D,求△MBD的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上,的中心和的頂點均為原點,從每條曲線上取兩個點,將其坐標(biāo)記錄于下表中:
3 | 2 | 4 | ||
0 | 4 |
(Ⅰ)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)請問是否存在直線滿足條件:①過的焦點;②與交不同兩點且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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