Question

7．函數(shù)f（x）=|lnx|-ax在區(qū)間（0，3]上有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{ln3}{3}$）
• B． （0，$\frac{ln3}{3}$]
• C． （$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)y=|lnx|的圖象，然后借助于圖象，結(jié)合在區(qū)間（0，3]上有三個零點，進行判斷．

解答 解：作出函數(shù)y=|lnx|與y=ax的圖象如圖示：
當a≤0時，顯然，不合乎題意，
當a＞0時，當x∈（0，1]時，存在一個零點，
當x＞1時，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）為增函數(shù)，
此時f（x）必須在[1，3]上有兩個交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（3）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，解得，$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
綜上，函數(shù)f（x）=|lnx|-ax在區(qū)間（0，3]上有三個零點時，實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．