Question

7．函數(shù)f（x）=|lnx|-ax在區(qū)間（0，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{ln3}{3}$）
• B． （0，$\frac{ln3}{3}$]
• C． （$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)y=|lnx|的圖象，然后借助于圖象，結(jié)合在區(qū)間（0，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)行判斷．

解答 解：作出函數(shù)y=|lnx|與y=ax的圖象如圖示：
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然，不合乎題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）為增函數(shù)，
此時(shí)f（x）必須在[1，3]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（3）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，解得，$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
綜上，函數(shù)f（x）=|lnx|-ax在區(qū)間（0，3]上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．