Question

18．已知A（-2，0），B（0，2），P是圓C：x²+y²+kx-2y=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M．N在圓上，且與直線x-y-1=0對(duì)稱
（1）求圓心C的坐標(biāo)及半徑；
（2）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)M．N在圓上且關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱可知x-y-1=0是圓的直徑所在的直線方程，即過已知圓的圓心，從而可求k，進(jìn)而可求圓心及半徑
（2）先求出圓心C到直線AB的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，P到直線x-y+2=0的最大距離為d+r，進(jìn)而可求△PAB面積的最大值為S=$\frac{1}{2}$|AB|•（d+r）

解答 解：（1）∵點(diǎn)M．N在圓上且關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱，
∴x-y-1=0是圓的直徑所在的直線方程，即過已知圓的圓心（-$\frac{k}{2}，1$），
∴$-\frac{1}{2}k-1-1=0$，
∴k=-4，
∴⊙C：x²+y²-4x-2y=0，
即（x-2）²+（y-1）²=5，
圓心C（2，1），半徑r=$\sqrt{5}$；
（2）∵|AB|=$2\sqrt{2}$，直線AB的方程為：x-y+2=0，
∴C（2，1）到直線AB的距離d=$\frac{|2-1+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
根據(jù)圓的性質(zhì)可知，P到直線x-y+2=0的最大距離為d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{5}$，
∴△PAB面積的最大值為S=$\frac{1}{2}$|AB|•（d+r）=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{5}）$=3+$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，直線方程的求法，考查計(jì)算能力