Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC=AC=CC₁，∠ACB=60°，D，E分別是A₁C₁，BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：B₁D∥平面AC₁E；
（Ⅱ）求證：平面AC₁E⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅲ）求直線AB與平面AC₁E所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設AC₁和A₁C的交點為O，連接EO，連接OD，根據三角形中位線定理可以證明四邊形EB₁DO為平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（Ⅱ）證明EO⊥平面AA₁C₁C，即可證明平面AC₁E⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅲ）利用等體積求出B到平面AC₁E的距離，即可求直線AB與平面AC₁E所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：設AC₁和A₁C的交點為O，連接EO，連接OD．
因為O為AC₁的中點，D為A₁C₁的中點，
所以OD∥AA₁且OD=$\frac{1}{2}$AA₁．
又E是BB₁中點，
所以B₁E∥OD且B₁E=OD．
所以，四邊形EB₁DO為平行四邊形．所以EO∥B₁D．
又B₁D?平面AC₁E，EO?平面AC₁E，
所以B₁D∥平面AC₁E；
（Ⅱ）證明：由題意，B₁D⊥平面AA₁C₁C，EO∥B₁D，
所以EO⊥平面AA₁C₁C，
因為EO?平面AC₁E，
所以平面AC₁E⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅲ）解：設BC=AC=CC₁=2，則三角形AC₁E的面積為$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
設B到平面AC₁E的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{3}$，
所以h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以直線AB與平面AC₁E所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面垂直的判斷，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．