Question

9．如圖，E是直角梯形ABCD底邊AB的中點(diǎn)，AB=2DC=2BC，將△ADE沿DE折起形成四棱錐A-BCDE．
（1）求證：DE⊥平面ABE；
（2）若二面角A-DE-B為60°，求二面角A-DC-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）由E是直角梯形ABCD底邊AB的中點(diǎn)，且AB=2DC，可得四邊形BCDE為平行四邊形，進(jìn)一步得到DE⊥EB，DE⊥EA，再由線面垂直的判定得答案；
（2）由（1）知，∠AEB即二面角A-DE-B的平面角，可得∠AEB=60°，又AE=EB，可得△AEB為等邊三角形．取BE的中點(diǎn)為F，CD的中點(diǎn)為G，連接AF、FG、AG，可得CD⊥AG．從而∠FGA即所求二面角A-DC-B的平面角．然后求解直角三角形得二面角A-DC-B的正切值．

解答 （1）證明：在直角梯形ABCD中，∵DC∥BE，且DC=BE，∴四邊形BCDE為平行四邊形，
又∠B=90°，從而DE⊥EB，DE⊥EA．
因此，在四棱錐A-BCDE中，有DE⊥面ABE；
（2）解：由（1）知，∠AEB即二面角A-DE-B的平面角，故∠AEB=60°，
又∵AE=EB，∴△AEB為等邊三角形．
設(shè)BE的中點(diǎn)為F，CD的中點(diǎn)為G，連接AF、FG、AG，
從而AF⊥BE，F(xiàn)G∥DE，
于是AF⊥CD，F(xiàn)G⊥CD，
從而CD⊥面AFG，因此CD⊥AG．
∴∠FGA即所求二面角A-DC-B的平面角．
∵DE⊥面ABE，從而FG⊥面ABE，
∴FG⊥AF．
設(shè)原直角梯形中，AB=2DC=2BC=2a，則折疊后四棱錐中AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，F(xiàn)G=a，
于是在Rt△AFG中，$tan∠FGA=\frac{AF}{FG}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即二面角A-DC-B的正切值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，關(guān)鍵是明確折疊問題折疊前后的變量與不變量，是中檔題．