Question

9．已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，-3），（0，3）．直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-3．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）斜率為k的直線l過點(diǎn)E（0，1），且與點(diǎn)M的軌跡交于C，D兩點(diǎn)，k_AC，k_AD分別為直線AC，AD的斜率，探索對任意的實(shí)數(shù)k，k_AC•k_AD是否為定值，若是，則求出該值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由k_AM•k_BM=-3，（x≠0）利用斜率計(jì)算公式即可得出；
（2）k_AC•k_AD為定值-6．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直線l的方程為：y=kx+1．與橢圓方程聯(lián)立化為（3+k²）x²+2kx-8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得（y₁+3）（y₂+3）=$\frac{48}{3+{k}^{2}}$．代入k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}+3}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+3}{{x}_{2}}$，即可證明．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），∵k_AM•k_BM=-3，
∴$\frac{y+3}{x}•\frac{y-3}{x}$=-3，（x≠0）．
化為$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1，（x≠0）．
（2）k_AC•k_AD為定值-6．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直線l的方程為：y=kx+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3+k²）x²+2kx-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-8}{3+{k}^{2}}$．
∴（y₁+3）（y₂+3）=y₁y₂+3（y₁+y₂）+9
=（kx₁+1）（kx₂+1）+3（kx₁+kx₂+2）+9
=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=$\frac{-8{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$+16
=$\frac{48}{3+{k}^{2}}$．
∴k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}+3}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+3}{{x}_{2}}$=$\frac{\frac{48}{3+{k}^{2}}}{\frac{-8}{3+{k}^{2}}}$=-6為定值．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．