Question

1．（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知實數(shù)x，y，z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0）且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用含絕對值的不等式性質(zhì)|x|+|y|≥|x+y|來處理即可．
（Ⅱ）由柯西不等式證明此題，關鍵在于怎樣構造柯西不等式的形式．

解答 解：（Ⅰ）∵?x∈R，2f（x）=2|x+3|≥g（x+4）=m-|x+4-11|-m-2|x-7|，…（1分）
從而有m≤2（|x-7|+|x+3|）…（2分）
由絕對值不等式的性質(zhì)知  2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20，
因此，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，20]…（3分）
（Ⅱ）解：由柯西不等式：
[$（\sqrt{2}x）^{2}+（\sqrt{3}y）^{2}+（\sqrt{6}z）^{2}$][$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{6}}）^{2}$]$≥（\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{3}}×\sqrt{3}y+\frac{1}{\sqrt{6}}×\sqrt{6}y）^{2}$…（5分）
因為2x²+3y²+6z²=a（a＞0），
所以，a≥（x+y+z）²，
因為x+y+z的最大值是1，所以a=1，
當2x=3y=6z時，x+y+z取最大值，…（6分）
所以a=1．…（7分）

點評 本題主要考查柯西不等式和含絕對值的不等式的應用，屬于中檔題型，高考常有涉及．