【題目】如圖,多面體中,四邊形為平行四邊形,其中,,,等邊所在平面與平面垂直,平面,且.

(Ⅰ)點在棱上,且,的重心,求證:平面;

(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】見解析

【解析】(Ⅰ)如圖,在棱上取點,使得;連并延長,交于點.

則在中,又

所以,

又四邊形為平行四邊形,

所以,

所以. -----------------2分

中,為重心,

所以,

所以.

又因為,

所以平面平面.

平面,

所以平面. -----------------------------5分

(Ⅱ)在中,,,

由余弦定理可得

.

所以.

的中點,連.

中,,

所以,且.

又因為平面平面,平面平面

所以平面. -----------------------------7分

中,,

所以,且.

如圖,以為坐標原點,分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系.

,,,,.

,,,.

設(shè)平面的法向量為,

則由,可得

整理得.

,則.

所以為平面的一個法向量. ----------------------------9分

設(shè)平面的法向量為,

則由,可得.

整理得.

,則,.

所以為平面的一個法向量. -----------------------------10分

所以.

-----------------------------11分

設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則. -------12分

【命題意圖】本題考查空間中線面平行的證明、空間二面角的求解以及向量的基本運算等,考查基本的空間想象能力和邏輯推理能力、運算能力等.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一個元素,則實數(shù)k的取值集合為(
A.{﹣1}
B.{0}
C.{﹣1,0}
D.(﹣∞,﹣1]∪{0}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列命題:
①已知集合M滿足M{1,2,3},且M中至少有一個奇數(shù),這樣的集合M有6個;
②已知函數(shù)f(x)= 的定義域是R,則實數(shù)a的取值范圍是(﹣12,0);
③函數(shù)f(x)=loga(x﹣3)+1(a>0且a≠1)圖象恒過定點(4,2);
④已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實數(shù)t都有f(3+t)=f(3﹣t),則f(1)>f(4)>f(3).
其中正確的命題序號是(寫出所有正確命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若恒成立,求參數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓過點A(2,1),離心率為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若直線與橢圓相交于B,C兩點(異于點A),線段BCy軸平分,且,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù) 的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,且過點

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知橢圓的左焦點為,直線與橢圓交于不同兩點,都在軸上方),

(。┤,求的面積;

(ⅱ)直線是否恒過定點?若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進行噴灑,以防止害蟲的危害,但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥,食用時需要用清水清洗干凈,下表是用清水(單位:千克)清洗該蔬菜1千克后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥(單位:微克)的統(tǒng)計表:

(1)令,利用給出的參考數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程.(,精確到0.1)

參考數(shù)據(jù):,,

其中

(2)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當它的殘留量不高于20微克時對人體無害,為了放心食用該蔬菜,請估計至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)

附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為

,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2016年新高一學(xué)生入學(xué)后,為了了解新生學(xué)業(yè)水平,某區(qū)對新生進行了素質(zhì)測查,隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(均低于100分),其相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:

分數(shù)段

頻數(shù)

選擇題24分

5

2

10

4

15

12

10

6

5

4

5

5

(1)若全區(qū)高一新生有5000人,試估計成績不低于60的人數(shù);

(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)試估計全區(qū)新生數(shù)學(xué)的平均成績(同一分數(shù)段的數(shù)據(jù)取該區(qū)間的中點值作為代表,如區(qū)間的中點值為75);

(3)從成績在中抽取選擇題得分不低于24分的3名學(xué)生進行具體分析,求至少有2學(xué)生成績在內(nèi)的概率.

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