Question

5．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10≤0}\\{x-2y+8≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則$\frac{8a+3b+2ab}{ab}$的最小值為（　�。�

• A． 12
• B． $\frac{21}{3}$
• C． $\frac{67}{6}$
• D． 11

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求$\frac{8a+3b+2ab}{ab}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)y=$-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10=0}\\{x-2y+8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此時(shí)z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}+\frac{2}$=1，
$\frac{8a+3b+2ab}{ab}$=$\frac{8}$+$\frac{3}{a}$+2=2+（$\frac{3}{a}$+$\frac{8}$）（$\frac{a}{3}+\frac{2}$）
=2+1+4+$\frac{3b}{2a}$+$\frac{8a}{3b}$≥7+2$\sqrt{\frac{3b}{2a}•\frac{8a}{3b}}$=7+4=11，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3b}{2a}$=$\frac{8a}{3b}$時(shí)取=號(hào)，
故最小值為11，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．